对于儿童的数学能力是如何发展的问题，长期以来在哲学界和心理学界都有着不同的理论和观点。认知发生论的三种不同理论流派中的理性主义、经验主义和社会历史性观点对这一问题作了不同的回答。标准的经验主义对这一问题的解释是，儿童通过对外部世界的观察和实际获得的经验来理解数学关系，包括最简单的数学关系。这一观点认为，我们对数的知识是通过对不同情景经验的归纳得来的。如对于“2+2=4”这样一种知识的习得，是因为儿童受到情景的影响，比如在数饼干的情景下，得到了这个答案；而在另一种情景下，数糖果时，又得到了相同的答案。一直到最后，儿童归纳为在所有的情景下都会得到这个答案。理性主义观点认为，人的大脑中先天就有一种数概念，这种数概念给儿童后来的数学能力的发展提供了一个基础。如根据康德的观点，尽管两块小石子加另外两块小石子的经验有助于儿童学习数学知识，但是等儿童理解了“2+2=4”这一命题以后，他就不需要任何实例来论证了。因而这一命题具有一种归纳不能赋予的特征，是一种先天的命题。他认为，尽管归纳可以帮助儿童理解客观的现象，但它只是提供一种感性的素材，这些素材还必须经过人的大脑内部的先天精神装置的整理以后才能给我们提供用以理解经验的概念。也就是说，在人的大脑内部，如果没有一种先天就有的数概念系统，儿童是不可能理解有关数的感性经验的。社会历史性观点的理论则认为，数知识的获得是一种社会传递的结果。如以维果斯基为代表的学者认为，要研究儿童的数学能力的发展必须首先研究和分析儿童赖以生存的社会、文化和物质环境。近二十年来有关儿童数概念发展的研究分别为这三种理论提供了不同程度的证明，其结果导致了本研究领域中不同理论流派的逐步融合。 在上世纪的上半世纪，皮亚杰以他独特的观察和实验方法提出了一整套解释儿童的智力和数学发展的理论。尽管皮亚杰认为，儿童数学知识的获得是他们在自己的活动中对外部世界的主动建构，但他的有关儿童数学发展的理论基本上沿用了理性主义的传统。因为他认为，儿童数学能力的发展是他们的认知结构从低层次向高层次转换的过程，而这一结构的产生与转换依赖于逻辑能力的发展和一种内部的思维反思过程，而不是依赖于对外部经验的感知。他还认为儿童对数的理解依赖于他们的逻辑概念的发展，数概念的发展可以用思维结构的质的变化来解释，且这种发展完全是儿童自己主动建构的过程。因而文化的传递和后天的学习经验对儿童数概念的影响甚微。比如，他认为儿童的数数技能只是一种后天习得的语言能力，对儿童数学能力的发展没有任何影响。皮亚杰理论中的这些观点对当今儿童数学发展理论的影响尚存，但具体的运用却面临很大的挑战。尽管他对这一研究领域的贡献很大，后人仍发现了他的理论上的不足之处。近二十年来，儿童数概念发展的研究结果及对儿童数学能力发展所作出的解释已在相当程度上不同于皮亚杰所作出的解释。 对皮亚杰儿童数学发展的理论提出疑问的首推格尔曼和加利斯特尔。这两位学者在20世纪70年代末对幼儿的数数技能进行了研究。格尔曼和加利斯特尔批评皮亚杰的守恒研究的不足之处是着眼于儿童数学能力上的短处，他们开始从儿童在数方面表现出来的长处——“数数”着手研究。其结果不仅表明幼儿具有令人惊讶的认知能力，且发现数数在儿童早期数概念发展中具有重要作用。这一结果与皮亚杰的观点截然相反。格尔曼和加利斯特尔认为，即使是三岁儿童的数数都不仅仅是单纯的语言能力，而是一种受到数数原则支配的复杂的认知能力。这一经典研究对后来的相关研究影响很大，它激发了持续至今、方兴未艾的对儿童数学能力发展的研究高潮。 继格尔曼和加利斯特尔的研究之后，对于儿童的数数技能的发展的研究，成了近十多年中许多研究的热点。这些研究的结果形成了称为“数数模式”（Counting Model） 的儿童数学发展的理论流派。这一流派在对“数数在儿童数概念发展中的作用” 这一问题上与皮亚杰打出了不同的旗号。这一理论流派提出的主要观点为：儿童数概念的发展并不一定如皮亚杰所说的是儿童逻辑思维能力发展的结果，这两种能力的发展更可能是一种平行和相互促进的关系；儿童的数概念在早期已得到了不同程度的发展；数概念的发展涉及到对数数技能的整合和应用；儿童数数的学习经验与数概念的发展有直接的联系；儿童的数数也是他们最初学习加减运算不可缺少的工具。 尽管“数数模式”的倡导者一致认识到数数对儿童数概念发展的重要性，但在解释儿童数数技能的发展方面出现了两种不同的理论。具体说来，对于儿童的数概念的获得到底是学习数数的结果，还是一种先天能力这一问题产生了分歧。一种理论认为儿童的数数技能来自于他们的数数经验，而另一种理论认为数数能力是一种内在的天生能力。这一争论常被称之为是“先有原则”（Principle-before）， 还是“后有原则”（Principle-after)"之争。有关儿童所掌握的数数原则到底是天生的，还是学习的结果这一问题目前仍在研究之中。根据凯斯的观点，这一争论可以追溯到有关对数学知识的本质以及这一知识发展过程所作出的不同的认知发生论方面的解释。“先有原则”的理论跟随了理性主义传统。而“后有原则”的理论遵循了经验主义和社会历史性理论两种传统。这一争论显然“反映了存在于整个发展心理学领域中对天赋与后天经验之间的复杂的相互作用的与日俱增的关注”。 这两种不同的理论在近二十年的研究中分别找到了证明自己的观点的研究证据。格尔曼和加利斯特尔是“先有原则”理论的主要代表。他们认为，儿童要完成成功的数数活动必须掌握五个原则。数数的第一个原则是一一对应原则，即指儿童必须理解在数的集合中的每一个物体只能对应于一个数词；数数的第二个原则是固定顺序原则，即用于给每个物体加标签的数词的顺序应始终如一；数数的第三个原则是基数原则，即指儿童理解用于数某个集合的最后一个物体的数词同时又代表了这个集合的总数；数数的第四个原则是抽象性原则，这一原则是指前面所说的三个原则可以用于任何一种集合，即任何由可数实体组成的集合都可以计数；数数的第五个原则是顺序不相干原则，它表明了一个集合的总数与点数这个集合中的每一个物体的顺序没有关系。格尔曼和加利斯特尔认为，儿童可能生来就具备了对这五个原则的内在理解，正是这些内在的数数原则促进了儿童数数的熟练程度的发展。然而，他们为这一观点所提供的研究证据受到了质疑，这些证据被认为可以有其他不同的解释。譬如说，格尔曼和加利斯特尔认为，儿童在数数（数到最后一个物体）时经常会用重音来说出最后一个数词，这表明了儿童在年幼时就具有了对基数原则的内在理解。但后来的研究表明，儿童在数数时用重音来说出最后一个数词的现象完全有可能是一种模仿行为，而不是表明对基数原则的理解。后来的研究还提出了疑问，如果儿童对数数原则的内在理解的发展先于他们实际完成数数行为的能力，那么为什么儿童的数数行为经常前后不一致呢？也就是说，儿童在数几次相同集合的物体时，会出现有时数对有时数错的现象。这种前后结果不一致的情况恰恰提供了证明，即儿童刚开始学习数数时并不懂数数的原则。 针对这些疑问，格尔曼及同行扩大了他们的理论的内涵。他们提出了数数能力的三个组成部分：概念性能力，过程性能力及应用性能力。他们仍然认为儿童很早就掌握了概念性能力，他们之所以在数数活动中表现出弱点和不稳定的行为，是因为他们的过程性能力和应用性能力较差。儿童在数数活动中出现困难也许可归结为他们在协调这三种能力方面缺乏经验。但从目前来看，对这一假设仍需作进一步的研究，因为它仍缺乏实验依据。近来的研究表明，加利斯特尔和格尔曼对儿童怎么会具有这种内在数数原则的原因方面提供了进一步的解释。他们提出，儿童之所以具有先天的数数原则是因为他们具有一种前言语数数机制（preverbal counting mechanism）。在这里，所谓的前言语数数机制是一种先天的或与生俱来的机制，这种机制和后天的学习没有关系。这两位学者认为动物和人类都具有这种先言语数数机制。他们认为，学习数数是一种在前言语机制和言语性数数符号之间双向吻合的学习过程。然而，他们认为这种吻合过程仍要依赖于儿童的数数实践。也就是说，尽管他们强调先天因素在儿童数数能力发展中的作用，但他们并没有否认经验的重要性。这种前言语数数机制的可能性在有关动物、婴儿数数能力的研究和对大脑的研究中似乎已得到某种证实。 与“先有原则”相呼应的研究是关于动物和婴儿的数学能力的研究发现。最近来自几个方面的信息，如对动物、婴儿数能力的研究以及对人的大脑损伤和大脑图像的研究，初步表明了人类和动物可能具有一种先天的，通过进化演变而来的对数的敏感或反应机制。实验室的研究表明，婴儿可能具有简单的计数能力，知道一个小的集合中有多少物体；婴儿能自发地发现数量之间的关系，知道小的集合在数量上的相等与不等；他们还具有对数的初步推理能力和简单的加减运算技能，知道在一个集合中添加和拿走物体会对集合的数量产生影响。然而，在如何解释婴儿的这种能力方面目前仍有争议。一种观点认为它只是一种感知能力；另一种观点认为这是一种目测能力；还有一种观点认为这是儿童先天数学能力的一个标志。对于这种早期的数鉴别能力和儿童以后数能力的发展之间到底有什么关系目前尚不清楚。 近年来的大量研究也证明了“后有原则”理论的观点，即儿童的数概念完全是后天学习的结果。研究表明，儿童的数数行为最初是一种无意义的纯模仿行为。儿童通过在实际生活和具体情景中的数数实践逐步地获得数的涵义和数数的原则。这一理论强调，儿童数概念的发展是渐进的，它建立在感知经验的基础上，同时又是一种社会化过程。成人在这一发展过程中起着重要的作用。在过去几年中，儿童发展领域中的许多研究都支持这一理论，如新皮亚杰儿童认知发展理论提出了令人信服的证据。这一理论在儿童书面语言的发展、数学知识和社会知识的学习等领域中提供的实验数据已经表明，儿童的认知发展在很大程度上受到经验、练习、外部影响及社会交往的影响。再者，不同的儿童发展理论流派近来都更明确地接受同一观点，即在一种文化中生活较长的时间和长时间地学习是儿童思维中主要概念变化的关键因素。以凯斯为代表的新皮亚杰理论在回答儿童的数学能力是如何发展这一问题上虽然试图综合认知发生论中的理性主义、经验主义、社会历史性观点以及皮亚杰的儿童数学发展理论，但其主要立足点则是建立在经验主义和社会历史性观点两者结合的基础上。新皮亚杰理论认为，儿童对数概念的理解是以一组建构起来的中心概念为基础的。根据凯斯的观点，中心概念结构是“综合一个领域中的核心内容”而形成的“力度较强的图式——儿童在他们的社会和认知发展过程中通过一系列的分化和综合能够重新建构这种图式”。这一假定的中心数概念结构是由核心的数知识组成：“1）书面数学的知识；2）数词的知识；3）数数时如何把数词与物体一一对应的知识；4） 由不同大小的集合所组成的视觉图形（如三角形或正方形）的知识；5）通过增加或减少集合中的一个物体，可以把其中的一个图形变成另一个图形的知识。这种知识的习得依赖于一个较长的学习和练习过程。这显然是一种通过后天的社会传递才能获得的社会性建构物。他和同事的研究还表明，训练能有效地帮助处于不同发展水平的儿童获得这一中心数概念结构。 目前，有迹象表明，在儿童数概念发展研究领域中的那种“先有原则”理论和“后有原则”理论之间的截然对立和界线分明的现象正在趋于淡化。随着研究的深入，又有一种称之为“双边发展观”（Mutual-Development view）的理论脱颖而出。这种理论流派事实上是前两种理论融合的结果。它兼听两家之言，认为儿童的数数技能可能既要受一种不完善的先天的数数机制的影响，同时又受到在不同的情景中学习经验的影响。这种观点认为，婴儿可能是有着某种天生的数学能力，如天生的目测机制和非言语数数机制，但这种机制后面的思维结构本身是不完善的，它只是给儿童数数能力的发展提供了可能性，而不可能完全决定数数能力发展的各个方面。儿童在开始学习数数时先机械地学习和动用一些数数技能，然后在实践中逐步完善对数数原则的理解。从目前的情况看，在儿童认知发展理论方面，以前单独追随“先有原则”或“后有原则”的许多研究人员中，一种同时接受来自两方面的观点的趋同现象与日俱增。目前普遍被大家所接受的综合性观点包括：“1）认知能力有其特定的生物基础，这种基础使得儿童更自然或更容易地获得某种而不是其他思维方式；2）概念性知识随着年龄的变化而变化；3）认知发展的水平表现出差异性，即使是对处于一种特定年龄的个体来说；4）认知能力的运用是进一步发展这一认知能力的基本条件；5）目标、社会交往和社会实践在认知和认知能力的发展变化中起重要作用。”也许这种“先有原则”和“后有原则”两种理论相互融合的趋势将有可能为我们进一步地理解儿童数概念的发展提供一个更好的基础。
